🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
🏆
Chuyên đề 10/10

Tổng hợp nâng cao

Bài tập tổng hợp đa chuyên đề, kỹ thuật sáng tạo, dạng bài thường gặp trong đề thi cấp tỉnh.

Nâng cao📝 5 bài tập + 5 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

Tổng hợp mọi MODEKỹ thuật sáng tạoTối ưu thời gianKết hợp nhiều phương phápDạng bài đề thiBẫy đề thường gặp

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Chiến lược giải bài tổng hợp

Bài thi cấp tỉnh thường kết hợp nhiều kiến thức. Chiến lược:

Phân tích đề:

•Đọc kỹ yêu cầu (dạng kết quả: phân số, thập phân, chính xác?)
•Nhận dạng chuyên đề liên quan
•Chọn phương pháp tối ưu (nhanh nhất)

2. Dạng bài thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức phức tạp

•Chia nhỏ biểu thức
•Tính từng phần, lưu vào biến
•Ghép lại

Dạng 2: Tìm quy luật

•Tính vài giá trị đầu bằng máy
•Tìm chu kỳ hoặc công thức
•Kiểm chứng

Dạng 3: Bài toán tham số

•Dùng CALC để thử nhanh
•Kết hợp lý thuyết (Vieta, BĐT)

Dạng 4: Bài hình học phức tạp

•Sử dụng nhiều công thức
•Lưu kết quả trung gian

3. Kỹ thuật tiết kiệm thời gian

•Dùng Ans thay vì nhập lại số
•Lưu biến cho giá trị dùng nhiều lần
•REPLAY sửa biểu thức thay vì nhập lại
•Kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược

4. Các bẫy thường gặp

•Quên chuyển chế độ DEG/RAD
•Quên dấu ngoặc → sai thứ tự tính
•Nhầm dấu khi nhập hệ số âm
•Nhầm MODE (tính thống kê trong mode COMP)
•Kết quả quá lớn/nhỏ → kiểm tra lại đề

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Khó
Tính: M=2025+337532025−33753+22025⋅337532025−337523M = \dfrac{\sqrt{2025} + \sqrt[3]{3375}}{\sqrt{2025} - \sqrt[3]{3375}} + \dfrac{2\sqrt{2025} \cdot \sqrt[3]{3375}}{2025 - \sqrt[3]{3375^2}}

Đáp án

M=114=2.75M = \dfrac{11}{4} = 2.75

Lời giải chi tiết

Đặt a=2025=45a = \sqrt{2025} = 45, b=33753=15b = \sqrt[3]{3375} = 15 M=a+ba−b+2aba2−b2M = \dfrac{a+b}{a-b} + \dfrac{2ab}{a^2 - b^2} Nhận xét: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) M=a+ba−b+2ab(a−b)(a+b)M = \dfrac{a+b}{a-b} + \dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)} =(a+b)2+2ab(a−b)(a+b)= \dfrac{(a+b)^2 + 2ab}{(a-b)(a+b)} =a2+2ab+b2+2aba2−b2= \dfrac{a^2 + 2ab + b^2 + 2ab}{a^2 - b^2} Hoặc quy đồng: =(a+b)2+2ab(a−b)(a+b)= \dfrac{(a+b)^2 + 2ab}{(a-b)(a+b)} Thế a=45, b=15: =6030+2×45×152025−225= \dfrac{60}{30} + \dfrac{2×45×15}{2025-225} =2+13501800=2+0.75=2.75= 2 + \dfrac{1350}{1800} = 2 + 0.75 = 2.75 Đáp án: M=114=2.75M = \dfrac{11}{4} = 2.75

Câu 2

Khó
Tìm 3 chữ số cuối cùng của 720247^{2024}.

Đáp án

3 chữ số cuối: 401401

Lời giải chi tiết

Cần tìm 72024mod  10007^{2024} \mod 1000 Tìm chu kỳ của 7nmod  10007^n \mod 1000: Dùng bấm máy tính 7n7^n với n nhỏ, lấy 3 chữ số cuối. Theo định lý Euler: φ(1000)=400\varphi(1000) = 400 7400≡1(mod1000)7^{400} \equiv 1 \pmod{1000} 2024=400×5+242024 = 400 \times 5 + 24 72024≡724(mod1000)7^{2024} \equiv 7^{24} \pmod{1000} Tính 7247^{24}: 72=497^2 = 49 74=24017^4 = 2401 → 3 chữ số cuối: 401 78≡4012=1608017^8 \equiv 401^2 = 160801 → 801 716≡8012=6416017^{16} \equiv 801^2 = 641601 → 601 724=716×78≡601×801=4814017^{24} = 7^{16} \times 7^8 \equiv 601 \times 801 = 481401 → **401** Bấm máy kiểm tra từng bước.

Câu 3

Trung bình
Cho tam giác ABC có AB=5AB = 5, BC=7BC = 7, CA=8CA = 8. Tính: a) Diện tích S b) Các góc A, B, C (làm tròn đến phút) c) Bán kính đường tròn nội tiếp r

Đáp án

a) S=103≈17.32S = 10\sqrt{3} \approx 17.32 b) A≈60°A \approx 60°, B≈81°47B \approx 81°47 phút, C≈38°13C \approx 38°13 phút c) r=2Sa+b+c=20320=3≈1.73r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \approx 1.73

Lời giải chi tiết

a) Heron: p=(5+7+8)/2=10p = (5+7+8)/2 = 10 S=10×5×3×2=300=103S = \sqrt{10×5×3×2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} b) Định lý Cosin: cos⁡A=72+52−822×7×5=49+25−6470=1070=17\cos A = \dfrac{7^2+5^2-8^2}{2×7×5} = \dfrac{49+25-64}{70} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} Sai: dùng đúng cạnh. cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} với a=BC=7, b=CA=8, c=AB=5 cos⁡A=64+25−492×8×5=4080=0.5\cos A = \dfrac{64+25-49}{2×8×5} = \dfrac{40}{80} = 0.5 → A=60°A = 60° c) r=S/p=103/10=3≈1.732r = S/p = 10\sqrt{3}/10 = \sqrt{3} ≈ 1.732

Câu 4

Khó
Cho x=5+12x = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} (tỉ lệ vàng). Tính x5−5x3+5xx^5 - 5x^3 + 5x chính xác.

Đáp án

Kết quả = −2-2

Lời giải chi tiết

Nhận xét: x=1+52x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} thỏa x2=x+1x^2 = x + 1 Từ x2=x+1x^2 = x+1: x3=x2⋅x=(x+1)x=x2+x=(x+1)+x=2x+1x^3 = x^2 \cdot x = (x+1)x = x^2+x = (x+1)+x = 2x+1 x4=x3⋅x=(2x+1)x=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2x^4 = x^3 \cdot x = (2x+1)x = 2x^2+x = 2(x+1)+x = 3x+2 x5=x4⋅x=(3x+2)x=3x2+2x=3(x+1)+2x=5x+3x^5 = x^4 \cdot x = (3x+2)x = 3x^2+2x = 3(x+1)+2x = 5x+3 Thế vào: x5−5x3+5xx^5 - 5x^3 + 5x =(5x+3)−5(2x+1)+5x= (5x+3) - 5(2x+1) + 5x =5x+3−10x−5+5x= 5x+3-10x-5+5x =0x−2=−2= 0x - 2 = -2 Kiểm tra bằng CALC: Nhập X⁵ - 5X³ + 5X, CALC X = (1+√5)/2 Kết quả cần bấm máy kiểm chính xác.

Câu 5

Khó
Cho nn là số tự nhiên. Chứng minh rằng n5−nn^5 - n chia hết cho 30 với mọi nn. Kiểm tra với n=7,12,25n = 7, 12, 25.

Đáp án

75−7=16800=30×5607^5 - 7 = 16800 = 30 \times 560 125−12=248820=30×829412^5 - 12 = 248820 = 30 \times 8294 255−25=9765600=30×32552025^5 - 25 = 9765600 = 30 \times 325520

Lời giải chi tiết

Phân tích: n5−n=n(n4−1)=n(n2−1)(n2+1)n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1) =(n−1)n(n+1)(n2+1)= (n-1)n(n+1)(n^2+1) (n−1)n(n+1)(n-1)n(n+1) là tích 3 số liên tiếp → chia hết cho 6 Cần CM thêm chia hết cho 5: n5−n≡n5−n(mod5)n^5 - n \equiv n^5 - n \pmod{5} Theo Fermat nhỏ: n5≡n(mod5)n^5 \equiv n \pmod{5} → n5−n≡0(mod5)n^5 - n \equiv 0 \pmod{5} Vì gcd(6,5)=1 → chia hết cho 30. Kiểm tra bằng máy: • 7⁵ - 7 = 16807 - 7 = 16800 ÷ 30 = 560 ✓ • 12⁵ - 12 = 248832 - 12 = 248820 ÷ 30 = 8294 ✓ • 25⁵ - 25 = 9765625 - 25 = 9765600 ÷ 30 = 325520 ✓

🏋️ Bài tập luyện thêm

5 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Trung bình
Tính: M=2025−20242025+2024M = \dfrac{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}

Đáp án

M≈0.000123M \approx 0.000123

Lời giải chi tiết

Nhân liên hợp: M=(2025−2024)2≈0.000123M = (\sqrt{2025}-\sqrt{2024})^2 \approx 0.000123

Câu 7

Khó
Tìm 3 chữ số cuối của 320253^{2025}.

Đáp án

3 chữ số cuối: 443443

Lời giải chi tiết

φ(1000)=400\varphi(1000)=400. 32025≡325(mod1000)3^{2025}\equiv 3^{25} \pmod{1000}\nTính 3253^{25} mod 1000 = 443443.

Câu 8

Trung bình
f(x)=x4−4x3+6x2−4x+1f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1. Tính f(2+1)f(\sqrt{2}+1).

Đáp án

f(2+1)=4f(\sqrt{2}+1) = 4

Lời giải chi tiết

f(x)=(x−1)4f(x)=(x-1)^4. f(2+1)=(2)4=4f(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^4=4

Câu 9

Khó
Tính ∑k=11001k+k+1\sum_{k=1}^{100} \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}

Đáp án

S=101−1≈9.0499S = \sqrt{101}-1 \approx 9.0499

Lời giải chi tiết

Nhân liên hợp: 1/(k+k+1)=k+1−k1/(\sqrt{k}+\sqrt{k+1}) = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} Telescoping: S=101−1S = \sqrt{101}-1

Câu 10

Trung bình
Tam giác a=13, b=14, c=15. Tính S, R, r.

Đáp án

S=84S=84, R=65/8=8.125R=65/8=8.125, r=4r=4

Lời giải chi tiết

p=21. S=21×8×7×6=7056=84S=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84 R=13×14×15/(4×84)=2730/336=65/8R=13\times 14\times 15/(4\times 84)=2730/336=65/8 r=84/21=4r=84/21=4
Chuyên đề trước

💰 Lãi suất & Bài toán thực tế