🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
🏆
Chuyên đề 10/10

Tổng hợp nâng cao

Bài tập tổng hợp đa chuyên đề, kỹ thuật sáng tạo, dạng bài thường gặp trong đề thi cấp tỉnh.

Nâng cao📝 5 bài tập + 45 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

Tổng hợp mọi chế độ MENUKỹ thuật sáng tạoTối ưu thời gianKết hợp nhiều phương phápDạng bài đề thiBẫy đề thường gặp

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Chiến lược giải bài tổng hợp

Bài thi cấp tỉnh thường kết hợp nhiều kiến thức. Chiến lược:

Phân tích đề:

•Đọc kỹ yêu cầu (dạng kết quả: phân số, thập phân, chính xác?)
•Nhận dạng chuyên đề liên quan
•Chọn phương pháp tối ưu (nhanh nhất)

2. Dạng bài thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức phức tạp

•Chia nhỏ biểu thức
•Tính từng phần, lưu vào biến
•Ghép lại

Dạng 2: Tìm quy luật

•Tính vài giá trị đầu bằng máy
•Tìm chu kỳ hoặc công thức
•Kiểm chứng

Dạng 3: Bài toán tham số

•Dùng CALC để thử nhanh
•Kết hợp lý thuyết (Vi-ét, BĐT)

Dạng 4: Bài hình học phức tạp

•Sử dụng nhiều công thức
•Lưu kết quả trung gian

3. Kỹ thuật tiết kiệm thời gian

•Dùng Ans thay vì nhập lại số
•Lưu biến cho giá trị dùng nhiều lần
•REPLAY sửa biểu thức thay vì nhập lại
•Kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược

4. Các bẫy thường gặp

•Quên chuyển chế độ DEG/RAD
•Quên dấu ngoặc → sai thứ tự tính
•Nhầm dấu khi nhập hệ số âm
•Nhầm chế độ MENU (tính thống kê trong MENU 1)
•Kết quả quá lớn/nhỏ → kiểm tra lại đề

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Khó
Tính: M=2025+337532025−33753+22025⋅337532025−337523M = \dfrac{\sqrt{2025} + \sqrt[3]{3375}}{\sqrt{2025} - \sqrt[3]{3375}} + \dfrac{2\sqrt{2025} \cdot \sqrt[3]{3375}}{2025 - \sqrt[3]{3375^2}}

Đáp án

M=114=2.75M = \dfrac{11}{4} = 2.75

Lời giải chi tiết

Đặt a=2025=45a = \sqrt{2025} = 45, b=33753=15b = \sqrt[3]{3375} = 15 M=a+ba−b+2aba2−b2M = \dfrac{a+b}{a-b} + \dfrac{2ab}{a^2 - b^2} Nhận xét: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) M=a+ba−b+2ab(a−b)(a+b)M = \dfrac{a+b}{a-b} + \dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)} =(a+b)2+2ab(a−b)(a+b)= \dfrac{(a+b)^2 + 2ab}{(a-b)(a+b)} =a2+2ab+b2+2aba2−b2= \dfrac{a^2 + 2ab + b^2 + 2ab}{a^2 - b^2} Hoặc quy đồng: =(a+b)2+2ab(a−b)(a+b)= \dfrac{(a+b)^2 + 2ab}{(a-b)(a+b)} Thế a=45, b=15: =6030+2×45×152025−225= \dfrac{60}{30} + \dfrac{2×45×15}{2025-225} =2+13501800=2+0.75=2.75= 2 + \dfrac{1350}{1800} = 2 + 0.75 = 2.75 Đáp án: M=114=2.75M = \dfrac{11}{4} = 2.75

Câu 2

Khó
Tìm 3 chữ số cuối cùng của 720247^{2024}.

Đáp án

3 chữ số cuối: 401401

Lời giải chi tiết

Cần tìm 72024mod  10007^{2024} \mod 1000 Tìm chu kỳ của 7nmod  10007^n \mod 1000: Dùng bấm máy tính 7n7^n với n nhỏ, lấy 3 chữ số cuối. Theo định lý Euler: φ(1000)=400\varphi(1000) = 400 7400≡1(mod1000)7^{400} \equiv 1 \pmod{1000} 2024=400×5+242024 = 400 \times 5 + 24 72024≡724(mod1000)7^{2024} \equiv 7^{24} \pmod{1000} Tính 7247^{24}: 72=497^2 = 49 74=24017^4 = 2401 → 3 chữ số cuối: 401 78≡4012=1608017^8 \equiv 401^2 = 160801 → 801 716≡8012=6416017^{16} \equiv 801^2 = 641601 → 601 724=716×78≡601×801=4814017^{24} = 7^{16} \times 7^8 \equiv 601 \times 801 = 481401 → **401** Bấm máy kiểm tra từng bước.

Câu 3

Trung bình
Cho tam giác ABC có AB=5AB = 5, BC=7BC = 7, CA=8CA = 8. Tính: a) Diện tích S b) Các góc A, B, C (làm tròn đến phút) c) Bán kính đường tròn nội tiếp r

Đáp án

a) S=103≈17.32S = 10\sqrt{3} \approx 17.32 b) A≈60°A \approx 60°, B≈81°47B \approx 81°47 phút, C≈38°13C \approx 38°13 phút c) r=2Sa+b+c=20320=3≈1.73r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \approx 1.73

Lời giải chi tiết

a) Heron: p=(5+7+8)/2=10p = (5+7+8)/2 = 10 S=10×5×3×2=300=103S = \sqrt{10 \times 5 \times 3 \times 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} b) Định lý Cosin: cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} với a=BC=7, b=CA=8, c=AB=5 cos⁡A=64+25−492×8×5=4080=0.5⇒A=60°\cos A = \dfrac{64+25-49}{2 \times 8 \times 5} = \dfrac{40}{80} = 0.5 \Rightarrow A = 60\degree Tương tự tính B, C bằng CALC. c) r=S/p=103/10=3≈1.732r = S/p = 10\sqrt{3}/10 = \sqrt{3} \approx 1.732

Câu 4

Khó
Cho x=5+12x = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} (tỉ lệ vàng). Tính x5−5x3+5xx^5 - 5x^3 + 5x chính xác.

Đáp án

Kết quả = −2-2

Lời giải chi tiết

Nhận xét: x=1+52x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} thỏa x2=x+1x^2 = x + 1 Từ x2=x+1x^2 = x+1: x3=x2⋅x=(x+1)x=x2+x=(x+1)+x=2x+1x^3 = x^2 \cdot x = (x+1)x = x^2+x = (x+1)+x = 2x+1 x4=x3⋅x=(2x+1)x=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2x^4 = x^3 \cdot x = (2x+1)x = 2x^2+x = 2(x+1)+x = 3x+2 x5=x4⋅x=(3x+2)x=3x2+2x=3(x+1)+2x=5x+3x^5 = x^4 \cdot x = (3x+2)x = 3x^2+2x = 3(x+1)+2x = 5x+3 Thế vào: x5−5x3+5xx^5 - 5x^3 + 5x =(5x+3)−5(2x+1)+5x= (5x+3) - 5(2x+1) + 5x =5x+3−10x−5+5x= 5x+3-10x-5+5x =0x−2=−2= 0x - 2 = -2 Kiểm tra bằng CALC: Nhập X⁵ - 5X³ + 5X, CALC X = (1+√5)/2 Kết quả cần bấm máy kiểm chính xác.

Câu 5

Khó
Cho nn là số tự nhiên. Chứng minh rằng n5−nn^5 - n chia hết cho 30 với mọi nn. Kiểm tra với n=7,12,25n = 7, 12, 25.

Đáp án

75−7=16800=30×5607^5 - 7 = 16800 = 30 \times 560 125−12=248820=30×829412^5 - 12 = 248820 = 30 \times 8294 255−25=9765600=30×32552025^5 - 25 = 9765600 = 30 \times 325520

Lời giải chi tiết

Phân tích: n5−n=n(n4−1)=n(n2−1)(n2+1)n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1) =(n−1)n(n+1)(n2+1)= (n-1)n(n+1)(n^2+1) (n−1)n(n+1)(n-1)n(n+1) là tích 3 số liên tiếp → chia hết cho 6 Cần CM thêm chia hết cho 5: n5−n≡n5−n(mod5)n^5 - n \equiv n^5 - n \pmod{5} Theo Fermat nhỏ: n5≡n(mod5)n^5 \equiv n \pmod{5} → n5−n≡0(mod5)n^5 - n \equiv 0 \pmod{5} Vì gcd(6,5)=1 → chia hết cho 30. Kiểm tra bằng máy: • 7⁵ - 7 = 16807 - 7 = 16800 ÷ 30 = 560 ✓ • 12⁵ - 12 = 248832 - 12 = 248820 ÷ 30 = 8294 ✓ • 25⁵ - 25 = 9765625 - 25 = 9765600 ÷ 30 = 325520 ✓

🏋️ Bài tập luyện thêm

45 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Trung bình
Tính: M=2025−20242025+2024M = \dfrac{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}

Đáp án

M≈0.000123M \approx 0.000123

Lời giải chi tiết

Nhân liên hợp: M=(2025−2024)2≈0.000123M = (\sqrt{2025}-\sqrt{2024})^2 \approx 0.000123

Câu 7

Khó
Tìm 3 chữ số cuối của 320253^{2025}.

Đáp án

3 chữ số cuối: 443443

Lời giải chi tiết

φ(1000)=400\varphi(1000)=400. 32025≡325(mod1000)3^{2025}\equiv 3^{25} \pmod{1000}\nTính 3253^{25} mod 1000 = 443443.

Câu 8

Trung bình
f(x)=x4−4x3+6x2−4x+1f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1. Tính f(2+1)f(\sqrt{2}+1).

Đáp án

f(2+1)=4f(\sqrt{2}+1) = 4

Lời giải chi tiết

f(x)=(x−1)4f(x)=(x-1)^4. f(2+1)=(2)4=4f(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^4=4

Câu 9

Khó
Tính ∑k=11001k+k+1\sum_{k=1}^{100} \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}

Đáp án

S=101−1≈9.0499S = \sqrt{101}-1 \approx 9.0499

Lời giải chi tiết

Nhân liên hợp: 1/(k+k+1)=k+1−k1/(\sqrt{k}+\sqrt{k+1}) = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} triệt tiêu: S=101−1S = \sqrt{101}-1

Câu 10

Trung bình
Tam giác a=13, b=14, c=15. Tính S, R, r.

Đáp án

S=84S=84, R=65/8=8.125R=65/8=8.125, r=4r=4

Lời giải chi tiết

p=21. S=21×8×7×6=7056=84S=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84 R=13×14×15/(4×84)=2730/336=65/8R=13\times 14\times 15/(4\times 84)=2730/336=65/8 r=84/21=4r=84/21=4

Câu 11

Dễ
Tính chữ số tận cùng của 720267^{2026}.

Đáp án

99

Lời giải chi tiết

Chu kỳ tận cùng của lũy thừa 7: 7,9,3,17, 9, 3, 1 (chu kỳ 4). Ta có: 2026(mod4)=22026 \pmod 4 = 2. Vậy tận cùng của 720267^{2026} giống 727^2, tức là 99.

Câu 12

Trung bình
Tính: C153+C154C_{15}^3 + C_{15}^4

Đáp án

18201820

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệ thức Pascal: Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} C153+C154=C164=16!4!12!=1820C_{15}^3 + C_{15}^4 = C_{16}^4 = \dfrac{16!}{4!12!} = 1820

Câu 13

Khó
Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương bằng 365365.

Đáp án

10,11,1210, 11, 12

Lời giải chi tiết

Gọi 3 số là n,n+1,n+2n, n+1, n+2. Ta có: n2+(n+1)2+(n+2)2=365n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 365 3n2+6n+5=365⇒3n2+6n−360=0⇒n2+2n−120=03n^2 + 6n + 5 = 365 \Rightarrow 3n^2 + 6n - 360 = 0 \Rightarrow n^2 + 2n - 120 = 0 Nghiệm tự nhiên n=10n = 10. Vậy 3 số là 10, 11, 12.

Câu 14

Khó
Tính số dư của 52026(mod7)5^{2026} \pmod 7

Đáp án

22

Lời giải chi tiết

Tính lũy thừa của 5 theo mod 7: 51≡55^1 \equiv 5, 52≡45^2 \equiv 4, 53≡65^3 \equiv 6, 54≡25^4 \equiv 2, 55≡35^5 \equiv 3, 56≡15^6 \equiv 1. Chu kỳ là 6. Có 2026(mod6)=42026 \pmod 6 = 4. Vậy số dư là 54(mod7)=25^4 \pmod 7 = 2

Câu 15

Khó
Tìm số dư khi chia 1!+2!+3!+...+20!1! + 2! + 3! + ... + 20! cho 1212

Đáp án

99

Lời giải chi tiết

Từ 4!=244! = 24 trở đi, mọi giai thừa đều chia hết cho 12. Vậy số dư của tổng bằng số dư của 1!+2!+3!=1+2+6=91! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9. 9(mod12)=99 \pmod{12} = 9

Câu 16

Dễ
Tính giá trị của liên phân số A=[2;1,3,1,2]A = [2; 1, 3, 1, 2]. Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản.

Đáp án

3914\dfrac{39}{14}

Lời giải chi tiết

Liên phân số được viết: A=2+11+13+11+12A = 2 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}}}}. Tính từ dưới lên: 1. Bấm 1 + 1⬚/⬚2 = (3/2) 2. Bấm 3 + 1⬚/⬚Ans = (11/3) 3. Bấm 1 + 1⬚/⬚Ans = (14/11) 4. Bấm 2 + 1⬚/⬚Ans = (39/14)

Câu 17

Trung bình
Biểu diễn phân số 355113\dfrac{355}{113} dưới dạng liên phân số [a0;a1,a2][a_0; a_1, a_2]. Tìm a0,a1,a2a_0, a_1, a_2.

Đáp án

[3;7,16][3; 7, 16]

Lời giải chi tiết

Chia liên tục: 355113=3+16113\dfrac{355}{113} = 3 + \dfrac{16}{113} → a0=3a_0 = 3 Nghịch đảo: 11316=7+116\dfrac{113}{16} = 7 + \dfrac{1}{16} → a1=7a_1 = 7 Nghịch đảo: 161=16\dfrac{16}{1} = 16 → a2=16a_2 = 16 Máy tính: 355 ÷ 113 = → 3.1415... Bấm - 3 = → xⁿ (-1) = → 7.0625. Bấm - 7 = → xⁿ (-1) = → 16.

Câu 18

Khó
Tính giá trị liên phân số B=[1;1,1,1,1,1,1,1,1,1]B = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] (10 số 1). Viết dưới dạng phân số.

Đáp án

8955\dfrac{89}{55}

Lời giải chi tiết

Liên quan Tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci. Kỹ thuật lặp Ans: 1. Nhập 1 = (gán vào Ans) 2. Nhập 1 + 1⬚/⬚Ans = 3. Bấm = liên tục 8 lần: 2 → 3/2 → 5/3 → 8/5 → 13/8 → 21/13 → 34/21 → 55/34 → 89/55 Đáp án: 8955≈1.618\dfrac{89}{55} \approx 1.618 (Tỉ lệ vàng).

Câu 19

Dễ
Tìm chu kỳ thập phân của phân số 17\dfrac{1}{7}.

Đáp án

142857

Lời giải chi tiết

Bấm 1 ÷ 7 = (dùng dấu chia, không dùng phân số). Màn hình: 0.142857142857... Chuỗi 142857 lặp đi lặp lại → chu kỳ là 142857 (6 chữ số). Kiểm tra: 142857×7=999999142857 \times 7 = 999999.

Câu 20

Trung bình
Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của 17\dfrac{1}{7}.

Đáp án

8

Lời giải chi tiết

Chu kỳ của 17\dfrac{1}{7}: 142857 (6 chữ số). Lấy 100 ÷ 6 = 16 dư 4. Chữ số thứ 100 = chữ số thứ 4 trong chu kỳ. Đếm: 1(1) 4(2) 2(3) 8(4) → đáp án là 8.

Câu 21

Khó
Tìm chữ số thập phân thứ 2025 sau dấu phẩy của 113\dfrac{1}{13}.

Đáp án

6

Lời giải chi tiết

Bấm 1 ÷ 13 = → 0.076923076923... Chu kỳ: 076923 (6 chữ số). 2025÷6=3372025 \div 6 = 337 dư 33. Chữ số thứ 2025 = chữ số thứ 3 trong chu kỳ. Đếm: 0(1) 7(2) 6(3) → đáp án là 6.

Câu 22

Dễ
Tìm tất cả nghiệm nguyên dương (x;y)(x; y) của 3x+5y=473x + 5y = 47.

Đáp án

(4;7),(9;4),(14;1)(4; 7), (9; 4), (14; 1)

Lời giải chi tiết

Rút y=47−3x5y = \dfrac{47 - 3x}{5}. Vì y>0y > 0 nên x≤14x \le 14. Dùng MENU 3 (TABLE): Nhập f(x)=(47−3x)÷5f(x) = (47 - 3x) \div 5 Start = 1, End = 14, Step = 1 Dò f(x)f(x) nguyên: x=4⇒y=7x=4 \Rightarrow y=7 ✓ x=9⇒y=4x=9 \Rightarrow y=4 ✓ x=14⇒y=1x=14 \Rightarrow y=1 ✓

Câu 23

Trung bình
Tìm các cặp số nguyên dương (x;y)(x; y) thỏa x2+y2=625x^2 + y^2 = 625 với x<yx < y.

Đáp án

(7;24),(15;20)(7; 24), (15; 20)

Lời giải chi tiết

Rút y=625−x2y = \sqrt{625 - x^2}. Vì x<yx < y nên x≤17x \le 17. Dùng MENU 3 (TABLE): Nhập f(x)=625−x2f(x) = \sqrt{625 - x^2} Start = 1, End = 17, Step = 1 Dò f(x)f(x) nguyên: x=7⇒y=24x=7 \Rightarrow y=24 ✓ (49+576=62549+576=625) x=15⇒y=20x=15 \Rightarrow y=20 ✓ (225+400=625225+400=625)

Câu 24

Khó
Tìm tất cả cặp nguyên dương (x;y)(x; y) thỏa 1x+1y=112\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} với x<yx < y.

Đáp án

(13;156),(14;84),(15;60),(16;48),(18;36),(20;30),(21;28)(13;156), (14;84), (15;60), (16;48), (18;36), (20;30), (21;28)

Lời giải chi tiết

Biến đổi: (x−12)(y−12)=144(x-12)(y-12)=144. Rút y=12xx−12y = \dfrac{12x}{x-12}. Vì x<yx < y và x>12x > 12: 13≤x≤2313 \le x \le 23. Dùng MENU 3 (TABLE): Nhập f(x)=12x÷(x−12)f(x) = 12x \div (x-12) Start = 13, End = 23, Step = 1 Dò f(x)f(x) nguyên: 7 cặp nghiệm. Kiểm tra: 113+1156=112\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{156}=\dfrac{1}{12} ✓

Câu 25

Dễ
Tính giá trị chính xác của phép nhân: 123456789×987654321123456789 \times 987654321.

Đáp án

121932631112635269

Lời giải chi tiết

Kết quả có 18 chữ số, vượt giới hạn máy. Tách số để tính: Đặt a=12345a = 12345, b=6789b = 6789, c=98765c = 98765, d=4321d = 4321. (a×104+b)(c×104+d)=ac×108+(ad+bc)×104+bd(a \times 10^4 + b)(c \times 10^4 + d) = ac \times 10^8 + (ad + bc) \times 10^4 + bd Bấm máy: 1. 12345×98765=121925392512345 \times 98765 = 1219253925 2. 12345×4321+6789×98765=72385833012345 \times 4321 + 6789 \times 98765 = 723858330 3. 6789×4321=293352696789 \times 4321 = 29335269 Ghép lại: 121932631112635269121932631112635269.

Câu 26

Trung bình
Tính giá trị chính xác của 99999999299999999^2.

Đáp án

9999999800000001

Lời giải chi tiết

Áp dụng hằng đẳng thức: 999999992=(108−1)2=1016−2×108+199999999^2 = (10^8 - 1)^2 = 10^{16} - 2 \times 10^8 + 1 Tính: 1016=1000000000000000010^{16} = 10000000000000000 Trừ 2×108=2000000002 \times 10^8 = 200000000 Cộng 1 Kết quả: 99999998000000019999999800000001.

Câu 27

Khó
Tìm 6 chữ số tận cùng của 21002^{100}.

Đáp án

205376

Lời giải chi tiết

Tìm 2100(mod106)2^{100} \pmod{10^6}. Dùng bình phương liên tiếp: 210=10242^{10} = 1024 220=10242=1048576≡0485762^{20} = 1024^2 = 1048576 \equiv 048576 240≡485762(mod106)=2359627776≡6277762^{40} \equiv 48576^2 \pmod{10^6} = 2359\mathbf{627776} \equiv 627776 (Bấm: 48576 xⁿ 2 = lấy 6 số cuối) 250≡627776×1024(mod106)≡8426242^{50} \equiv 627776 \times 1024 \pmod{10^6} \equiv 842624 2100≡8426242(mod106)≡2053762^{100} \equiv 842624^2 \pmod{10^6} \equiv 205376 Bấm máy: dùng kỹ thuật lấy 6 số cuối sau mỗi bước.

Câu 28

Dễ
Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước 3, 4, 5. Tính thể tích VV, diện tích toàn phần StpS_{tp}, đường chéo dd.

Đáp án

V=60V=60, Stp=94S_{tp}=94, d=52d=5\sqrt{2}

Lời giải chi tiết

Công thức hình hộp chữ nhật (a,b,ca, b, c): V=abcV = abc, Stp=2(ab+bc+ca)S_{tp} = 2(ab+bc+ca), d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} Bấm máy: 1. V: 3 \times 4 \times 5 = 60 2. Stp: 2 \times (12+20+15) = 94 3. d: \sqrt{9+16+25} = 52≈7.0715\sqrt{2} \approx 7.071

Câu 29

Trung bình
Hình chóp tam giác đều cạnh đáy a=6a=6, chiều cao h=8h=8. Tính thể tích VV và diện tích xung quanh SxqS_{xq}.

Đáp án

V=243V=24\sqrt{3}, Sxq=967≈73.668S_{xq}=9\sqrt{67} \approx 73.668

Lời giải chi tiết

Diện tích đáy tam giác đều: Sd=a234=93S_d = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} Thể tích: V=13Sdh=13×93×8=243V = \dfrac{1}{3}S_d h = \dfrac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 8 = 24\sqrt{3} Trung đoạn: dt=h2+r2d_t = \sqrt{h^2 + r^2} với r=a36=3r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} dt=64+3=67d_t = \sqrt{64+3} = \sqrt{67} Sxq=3a2×dt=967≈73.668S_{xq} = \dfrac{3a}{2} \times d_t = 9\sqrt{67} \approx 73.668

Câu 30

Khó
Hình nón bán kính đáy r=5r=5, đường sinh l=13l=13. Tính chiều cao hh, thể tích VV, diện tích toàn phần StpS_{tp}.

Đáp án

h=12h=12, V=100πV=100\pi, Stp=90πS_{tp}=90\pi

Lời giải chi tiết

Chiều cao: h=l2−r2=169−25=12h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{169-25} = 12 Thể tích: V=13πr2h=13π×25×12=100πV = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi Diện tích xung quanh: Sxq=πrl=65πS_{xq} = \pi r l = 65\pi Diện tích đáy: Sd=πr2=25πS_d = \pi r^2 = 25\pi Stp=65π+25π=90πS_{tp} = 65\pi + 25\pi = 90\pi

Câu 31

Dễ
u1=1u_1=1, un+1=2un+1un+2u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}. Tìm u10u_{10}.

Đáp án

u10=1u_{10}=1

Lời giải chi tiết

Thử: u2=2(1)+11+2=1u_2 = \dfrac{2(1)+1}{1+2} = 1. Dãy hằng số. Kiểm tra: (2u+1)/(u+2)=u⇒2u+1=u2+2u⇒u2=1⇒u=1(2u+1)/(u+2) = u \Rightarrow 2u+1 = u^2+2u \Rightarrow u^2=1 \Rightarrow u=1. Vậy u10=1u_{10} = 1. Bấm máy kiểm tra: 1 = rồi (2Ans+1)⬚/⬚(Ans+2) bấm = liên tục 9 lần.

Câu 32

Trung bình
u1=2u_1=2, u2=1u_2=1, un+2=3un+1−2unu_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n. Tìm u15u_{15} và S15S_{15}.

Đáp án

u15=−16381u_{15}=-16381, S15=−32722S_{15}=-32722

Lời giải chi tiết

Giải PT đặc trưng: t2−3t+2=0⇒t=1t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=1 hoặc t=2t=2. CTTQ: un=A+B⋅2nu_n = A + B \cdot 2^n. Từ u1=2,u2=1u_1=2, u_2=1: A+2B=2A+2B=2 và A+4B=1⇒B=−1/2,A=3A+4B=1 \Rightarrow B=-1/2, A=3. un=3−2n−1⇒u15=3−214=3−16384=−16381u_n = 3 - 2^{n-1} \Rightarrow u_{15} = 3 - 2^{14} = 3 - 16384 = -16381. S15=45−(215−1)=45−32767=−32722S_{15} = 45 - (2^{15}-1) = 45 - 32767 = -32722. Hoặc bấm máy lặp tuần tự từ u1,u2u_1, u_2.

Câu 33

Khó
u1=1u_1=1, un+1=un+1unu_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}. Tìm u20u_{20} (làm tròn 4 chữ số TP).

Đáp án

6.4211

Lời giải chi tiết

Dãy phi tuyến không có CTTQ đơn giản, buộc phải dùng lặp Ans. Bấm máy: 1. Nhập 1 = (lưu u1u_1) 2. Nhập Ans + 1⬚/⬚Ans 3. Bấm = liên tục 19 lần Kết quả: u20≈6.4211u_{20} \approx 6.4211.

Câu 34

Dễ
Tìm 3 chữ số tận cùng của 720247^{2024}.

Đáp án

401

Lời giải chi tiết

Tìm 72024(mod1000)7^{2024} \pmod{1000}. Theo Euler: φ(1000)=400\varphi(1000)=400, nên 7400≡17^{400} \equiv 1. 2024=400×5+24⇒72024≡724(mod1000)2024 = 400 \times 5 + 24 \Rightarrow 7^{2024} \equiv 7^{24} \pmod{1000}. Tính bình phương liên tiếp: 74=2401≡4017^4 = 2401 \equiv 401 78≡4012=160801≡8017^8 \equiv 401^2 = 160801 \equiv 801 716≡8012=641601≡6017^{16} \equiv 801^2 = 641601 \equiv 601 724=716×78≡601×801=481401≡4017^{24} = 7^{16} \times 7^8 \equiv 601 \times 801 = 481401 \equiv 401

Câu 35

Trung bình
Tìm số dư khi chia 22025+320252^{2025} + 3^{2025} cho 5.

Đáp án

0

Lời giải chi tiết

Vì 2025 lẻ, áp dụng: an+bna^n + b^n chia hết cho a+ba+b khi nn lẻ. 22025+320252^{2025} + 3^{2025} chia hết cho 2+3=52+3=5. Số dư = 0. Kiểm tra máy: 23+33=352^3+3^3 = 35 chia hết 5 ✓ 25+35=2752^5+3^5 = 275 chia hết 5 ✓

Câu 36

Khó
Tính φ(360)\varphi(360) (hàm Euler phi). Giải thích tại sao không tồn tại x>0x>0 sao cho 2x≡1(mod360)2^x \equiv 1 \pmod{360}.

Đáp án

φ(360)=96\varphi(360)=96. Không tồn tại xx vì 360360 chẵn.

Lời giải chi tiết

Phân tích: 360=23×32×5360 = 2^3 \times 3^2 \times 5. φ(360)=360(1−12)(1−13)(1−15)=360×12×23×45=96\varphi(360) = 360(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{5}) = 360 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = 96 Về 2x≡1(mod360)2^x \equiv 1 \pmod{360}: 2x−12^x - 1 lẻ, nhưng 360360 chẵn. Số lẻ không chia hết cho số chẵn → vô nghiệm. Bấm máy: SHIFT FACT 360 → 23×32×52^3 \times 3^2 \times 5 φ\varphi: 360 \times (1-1⬚/⬚2) \times (1-1⬚/⬚3) \times (1-1⬚/⬚5) = 96

Câu 37

Khó
Tìm số dư khi chia 32026+420263^{2026} + 4^{2026} cho 1313.

Đáp án

12

Lời giải chi tiết

Tính 33=27≡1(mod13)3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13}. Nên 32026=(33)675×3≡33^{2026} = (3^3)^{675} \times 3 \equiv 3. Tính 43=64≡−1(mod13)4^3 = 64 \equiv -1 \pmod{13}. Nên 42026=(43)675×4≡(−1)×4≡94^{2026} = (4^3)^{675} \times 4 \equiv (-1) \times 4 \equiv 9. Tổng: 3+9=123 + 9 = 12.

Câu 38

Khó
Tam giác ABC có 3 đường trung tuyến ma=15,mb=18,mc=21m_a=15, m_b=18, m_c=21. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án

726≈176.36372\sqrt{6} \approx 176.363

Lời giải chi tiết

Tính diện tích tam giác trung tuyến (Heron với a=15,b=18,c=21): p=27p=27, Sm=27×12×9×6=546S_m = \sqrt{27 \times 12 \times 9 \times 6} = 54\sqrt{6}. Diện tích ABC: S=43Sm=726S = \dfrac{4}{3}S_m = 72\sqrt{6}. Bấm máy: 27×12×9×6×43\sqrt{27 \times 12 \times 9 \times 6} \times \dfrac{4}{3}.

Câu 39

Khó
Đa thức P(x)P(x) bậc 4, hệ số cao nhất bằng 1. Biết P(1)=5,P(2)=14,P(3)=29,P(4)=50P(1)=5, P(2)=14, P(3)=29, P(4)=50. Tính P(6)P(6).

Đáp án

230

Lời giải chi tiết

Nhận xét: P(k)=3k2+2P(k) = 3k^2+2 với k=1,2,3,4k=1,2,3,4. Xét H(x)=P(x)−(3x2+2)H(x) = P(x) - (3x^2+2) bậc 4, hệ số cao nhất 1, có 4 nghiệm 1,2,3,4. Vậy P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+3x2+2P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 3x^2 + 2. P(6)=5×4×3×2+108+2=230P(6) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 + 108 + 2 = 230.

Câu 40

Khó
Tìm tất cả cặp số nguyên dương (x,y)(x, y) thỏa 2x2+3y2=772x^2 + 3y^2 = 77.

Đáp án

(5;3)(5; 3) và (1;5)(1; 5)

Lời giải chi tiết

Từ PT: 3y2≤77⇒y≤53y^2 \le 77 \Rightarrow y \le 5. Dùng MENU 3 (TABLE) với f(y)=77−3y22f(y) = \sqrt{\dfrac{77-3y^2}{2}}, dò y từ 1 đến 5: y=3⇒x=5y=3 \Rightarrow x=5 ✓ y=5⇒x=1y=5 \Rightarrow x=1 ✓ Các TH khác x không nguyên.

Câu 41

Khó
u1=2u_1=2, un+1=un+2un+1u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n+1}. Tính u50u_{50} (làm tròn 4 chữ số TP).

Đáp án

1.4142

Lời giải chi tiết

Dãy hội tụ về 2\sqrt{2} (giải L=L+2L+1⇒L2=2L = \dfrac{L+2}{L+1} \Rightarrow L^2=2). Bấm máy: 2 = rồi (Ans+2)⬚/⬚(Ans+1) bấm = khoảng 10-15 lần. Giá trị hội tụ nhanh về 2≈1.4142\sqrt{2} \approx 1.4142.

Câu 42

Dễ
Tìm chữ số tận cùng của 3333^{3^{3}}

Đáp án

7

Lời giải chi tiết

Chu kỳ chữ số tận cùng của 3n3^n: 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4). Số mũ: 33=273^3 = 27. Ta có 27=4×6+327 = 4 \times 6 + 3, suy ra 27≡3(mod4)27 \equiv 3 \pmod{4}. Vậy chữ số tận cùng của 3273^{27} là chữ số thứ 3 trong chu kỳ: 77. Kiểm tra: Bấm 33 xnxⁿ 2727 == ⇒\Rightarrow 7625597484987. Tận cùng là 77.

Câu 43

Trung bình
Tìm 2 chữ số cuối của 7777^{7^{7}}

Đáp án

43

Lời giải chi tiết

Cần tìm 777(mod100)7^{7^7} \pmod{100}. 77=8235437^7 = 823543. Tìm 823543(mod40)823543 \pmod{40} (vì φ(100)=40\varphi(100) = 40). 823543=40×20588+23823543 = 40 \times 20588 + 23, vậy 77≡23(mod40)7^7 \equiv 23 \pmod{40}. Suy ra 777≡723(mod100)7^{7^7} \equiv 7^{23} \pmod{100}. 74=2401≡1(mod100)7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{100}, nên 723=(74)5⋅73≡1⋅343≡43(mod100)7^{23} = (7^4)^5 \cdot 7^3 \equiv 1 \cdot 343 \equiv 43 \pmod{100}. Bấm máy: 77=7^7 = 823543. 823543÷R40=823543 \div R 40 = dư 23. 73=3437^3 = 343. Hai chữ số cuối: 4343.

Câu 44

Khó
Tìm 3 chữ số cuối của 22222^{2^{2^{2}}}

Đáp án

536

Lời giải chi tiết

Tháp lũy thừa tính từ trên xuống: 222=24=162^{2^2} = 2^4 = 16. Vậy biểu thức = 216=655362^{16} = 65536. Ba chữ số cuối: 536536. Bấm máy: 22 xnxⁿ 1616 == ⇒\Rightarrow 65536.

Câu 45

Dễ
Cho a1=1,b1=1,an+1=an+bn,bn+1=an−bna_1=1, b_1=1, a_{n+1}=a_n+b_n, b_{n+1}=a_n-b_n. Tìm a10,b10a_{10}, b_{10}.

Đáp án

a10=32,b10=0a_{10} = 32, b_{10} = 0

Lời giải chi tiết

Lập bảng: (1,1)→(2,0)→(2,2)→(4,0)→(4,4)→(8,0)...(1,1) \to (2,0) \to (2,2) \to (4,0) \to (4,4) \to (8,0) ... Quy luật: Cứ 2 bước, aa nhân đôi và bb quay về 0. Tại n=10n=10 (bước chẵn): a10=25=32a_{10} = 2^5 = 32, b10=0b_{10} = 0. Bấm máy: 11 STO A, 11 STO B. Lặp: C = A+B : B = A-B : A = C. Nhấn == 9 lần.

Câu 46

Trung bình
Cho x1=2,y1=3,xn+1=2xn−yn,yn+1=xn+ynx_1=2, y_1=3, x_{n+1}=2x_n-y_n, y_{n+1}=x_n+y_n. Tìm x15+y15x_{15}+y_{15}.

Đáp án

2187

Lời giải chi tiết

Tính vài giá trị đầu: (2,3)→(1,5)→(−3,6)→(−12,3)...(2,3) \to (1,5) \to (-3,6) \to (-12,3)... Nhận xét: xn+1+yn+1=3xnx_{n+1}+y_{n+1} = 3x_n và yn+1−xn+1=3yny_{n+1}-x_{n+1} = 3y_n (nhân 3 luân phiên). Lặp máy: 22 STO A, 33 STO B. Lặp: C = 2A-B : B = A+B : A = C. Nhấn == 14 lần. Kết quả A + B = −2187+4374=2187-2187 + 4374 = 2187.

Câu 47

Khó
Cho u1=1,v1=0,un+1=3un+2vn,vn+1=un+2vnu_1=1, v_1=0, u_{n+1}=3u_n+2v_n, v_{n+1}=u_n+2v_n. Tìm u12,v12u_{12}, v_{12}.

Đáp án

u12=2796203,v12=1398101u_{12} = 2796203, v_{12} = 1398101

Lời giải chi tiết

PT đặc trưng: r2−5r+4=0⇒r=1,r=4r^2 - 5r + 4 = 0 \Rightarrow r=1, r=4. Công thức: vn=4n−1−13v_n = \dfrac{4^{n-1}-1}{3}, un=4n+26u_n = \dfrac{4^n+2}{6}. u12=412+26=2796203u_{12} = \dfrac{4^{12}+2}{6} = 2796203, v12=411−13=1398101v_{12} = \dfrac{4^{11}-1}{3} = 1398101. Bấm máy: 11 STO A, 00 STO B. Lặp: C = 3A+2B : B = A+2B : A = C. Nhấn == 11 lần. A = 2796203, B = 1398101.

Câu 48

Dễ
Hình nón có bán kính đáy r=5r=5, chiều cao h=12h=12. Tính thể tích VV và diện tích toàn phần StpS_{tp} (làm tròn 3 chữ số thập phân).

Đáp án

V≈314.159;Stp≈282.743V \approx 314.159; S_{tp} \approx 282.743

Lời giải chi tiết

Đường sinh: l=52+122=13l = \sqrt{5^2+12^2} = 13. V=13πr2h=13π⋅25⋅12=100π≈314.159V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314.159. Stp=πr(r+l)=5π(5+13)=90π≈282.743S_{tp} = \pi r(r+l) = 5\pi(5+13) = 90\pi \approx 282.743. Bấm máy: MENU 1. Nhập 1÷3×π×52×12=1 \div 3 \times \pi \times 5^2 \times 12 = rồi S⇔D.

Câu 49

Trung bình
Hình nón cụt có bán kính 2 đáy R=10,r=4R=10, r=4, chiều cao h=8h=8. Tính thể tích (làm tròn 3 chữ số).

Đáp án

V=416π≈1306.903V = 416\pi \approx 1306.903

Lời giải chi tiết

V=πh3(R2+Rr+r2)=8π3(100+40+16)=416π≈1306.903V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2) = \dfrac{8\pi}{3}(100+40+16) = 416\pi \approx 1306.903. Bấm máy: MENU 1. Nhập π×8÷3×(102+10×4+42)=\pi \times 8 \div 3 \times (10^2 + 10 \times 4 + 4^2) = rồi S⇔D.

Câu 50

Khó
Hình cầu nội tiếp hình trụ. Biết diện tích toàn phần hình trụ là 150π150\pi. Tính thể tích hình cầu (làm tròn 3 chữ số).

Đáp án

V=500π3≈523.599V = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523.599

Lời giải chi tiết

Cầu nội tiếp trụ: h=2Rh = 2R, bán kính trụ = bán kính cầu = RR. Stp=2πR2+2πR⋅2R=6πR2=150π⇒R=5S_{tp} = 2\pi R^2 + 2\pi R \cdot 2R = 6\pi R^2 = 150\pi \Rightarrow R = 5. V=43π⋅53=500π3≈523.599V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523.599. Bấm máy: 150÷6=5\sqrt{150 \div 6} = 5. Rồi 4÷3×π×53=4 \div 3 \times \pi \times 5^3 = S⇔D.
Chuyên đề trước

💰 Lãi suất & Bài toán thực tế