🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
📈
Chuyên đề 4/10

Bất phương trình & Cực trị

Tìm GTLN, GTNN bằng TABLE. Giải bất phương trình bằng dò dấu. Bài toán min/max trên máy tính.

Trung bình📝 5 bài tập + 8 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

MENU 3 (Table)Dò cực trị bằng TABLECALC thử giá trịSOLVE tìm nghiệm BPTKỹ thuật thu hẹp khoảngLưu biến STO/RCL

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Dùng TABLE tìm GTLN/GTNN

MENU 3 → nhập f(X) → chọn Start, End, Step → quan sát bảng giá trị.

Chiến lược:

•**Bước 1:** Dò thô (Step lớn) để tìm vùng cực trị
•**Bước 2:** Thu hẹp khoảng (Step nhỏ) quanh vùng cực trị
•**Bước 3:** Thu hẹp tiếp cho đến khi đạt độ chính xác mong muốn

Ví dụ: Tìm GTNN của f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7

•TABLE: Start=-5, End=10, Step=1 → thấy min quanh x=2
•TABLE: Start=1, End=3, Step=0.1 → thấy min tại x=2.0
•f(2)=4−8+7=3f(2) = 4 - 8 + 7 = 3 → GTNN = 3

2. Giải BPT bằng dò dấu

Để giải f(x)>0f(x) > 0 (hoặc <0< 0):

•Dùng TABLE lập bảng giá trị f(X)
•Tìm các điểm đổi dấu (nghiệm của f(x) = 0)
•Xác định khoảng dương/âm

3. Bài toán cực trị có ràng buộc

Dạng: Tìm GTLN/GTNN của biểu thức P với điều kiện C.

•Rút 1 biến từ điều kiện C
•Thế vào P → P thành hàm 1 biến
•Dùng TABLE tìm cực trị

4. Kỹ thuật CALC kiểm tra

Sau khi tìm được nghiệm/cực trị:

•Nhập lại biểu thức
•Dùng CALC thế giá trị → kiểm tra kết quả

5. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) trên máy tính

Để kiểm chứng BĐT AM-GM:

•a+b2≥ab\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} (với a,b>0a, b > 0)
•Dấu = xảy ra khi a=ba = b
•Dùng CALC thử nhiều bộ giá trị để kiểm chứng

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Dễ
Tìm GTNN của biểu thức f(x)=x2−6x+13f(x) = x^2 - 6x + 13 và giá trị x tương ứng.

Đáp án

GTNN = 4 khi x=3x = 3

Lời giải chi tiết

Cách 1 - TABLE: MENU 3 → f(X) = X² - 6X + 13 Start=0, End=6, Step=0.5 → Thấy f(3) = 4 là nhỏ nhất Cách 2 - Biến đổi: f(x)=(x−3)2+4≥4f(x) = (x-3)^2 + 4 \geq 4 Dấu = khi x = 3 Bấm kiểm tra: CALC → X=3 → f(3) = 9 - 18 + 13 = 4 ✓

Câu 2

Trung bình
Tìm GTLN của P=xx2+1P = \dfrac{x}{x^2 + 1} với x>0x > 0. Kết quả chính xác.

Đáp án

GTLN = 12\dfrac{1}{2} khi x=1x = 1

Lời giải chi tiết

TABLE: f(X) = X/(X²+1), Start=0.1, End=5, Step=0.1 → f(1) = 1/2 = 0.5 là lớn nhất Chứng minh: Với x > 0: xx2+1≤12\dfrac{x}{x^2+1} \leq \dfrac{1}{2} ⟺ 2x≤x2+12x \leq x^2 + 1 ⟺ x2−2x+1≥0x^2 - 2x + 1 \geq 0 ⟺ (x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0 (luôn đúng) Dấu = khi x = 1 → Pmax=1/2P_{max} = 1/2

Câu 3

Trung bình
Cho x+y=10x + y = 10 (x,y>0x, y > 0). Tìm GTNN của 1x+1y\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}.

Đáp án

GTNN = 25\dfrac{2}{5} khi x=y=5x = y = 5

Lời giải chi tiết

Thế y = 10 - x: f(x)=1x+110−xf(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{10-x} với 0<x<100 < x < 10 TABLE: f(X) = 1/X + 1/(10-X) Start=0.5, End=9.5, Step=0.5 → f(5) = 0.2 + 0.2 = 0.4 là nhỏ nhất Cách đại số: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: (1x+1y)(x+y)≥(1+1)2=4(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(x+y) \geq (1+1)^2 = 4 (1x+1y)×10≥4(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \times 10 \geq 4 1x+1y≥25\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \geq \dfrac{2}{5} Dấu = khi x = y = 5

Câu 4

Khó
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của mm (m≤10m \leq 10) để phương trình x2−2mx+m+6=0x^2 - 2mx + m + 6 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt.

Đáp án

mmax=10m_{max} = 10 (nguyên, với m≤10m \leq 10)

Lời giải chi tiết

ĐK: Δ>0\Delta > 0 Δ=4m2−4(m+6)>0\Delta = 4m^2 - 4(m+6) > 0 m2−m−6>0m^2 - m - 6 > 0 (m−3)(m+2)>0(m-3)(m+2) > 0 Bấm: MENU 5 → 2 → 2 → a=1, b=-1, c=-6 → m = 3 hoặc m = -2 Vậy m<−2m < -2 hoặc m>3m > 3 Dùng TABLE kiểm tra: f(m) = m²-m-6 → f(-2)=0, f(3)=0, f > 0 khi m < -2 hoặc m > 3 Vì đề cho m≤10m \leq 10 và cần m>3m > 3: Các giá trị m nguyên thỏa: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → m nguyên lớn nhất = **10**. Kiểm tra: m=10 → Δ′=100-10-6=84 > 0 ✓

Câu 5

Khó
Cho x,y,z>0x, y, z > 0 và x+y+z=6x + y + z = 6. Tìm GTLN của P=xy+yz+zxP = xy + yz + zx.

Đáp án

GTLN = 12 khi x=y=z=2x = y = z = 2

Lời giải chi tiết

Ta có: (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) 36=x2+y2+z2+2P36 = x^2+y^2+z^2 + 2P P=36−(x2+y2+z2)2P = \dfrac{36 - (x^2+y^2+z^2)}{2} P lớn nhất khi x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 nhỏ nhất. Theo BĐT Cauchy-Schwarz: x2+y2+z2≥(x+y+z)23=12x^2+y^2+z^2 \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3} = 12 Dấu = khi x = y = z = 2 Pmax=36−122=12P_{max} = \dfrac{36-12}{2} = 12 Kiểm tra bằng CALC: x=y=z=2 xy+yz+zx = 4+4+4 = 12 ✓

🏋️ Bài tập luyện thêm

8 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Dễ
Tìm GTNN của f(x)=x2−6x+13f(x) = x^2 - 6x + 13.

Đáp án

GTNN = 4 khi x=3x = 3

Lời giải chi tiết

f(x)=(x−3)2+4≥4f(x) = (x-3)^2 + 4 \geq 4. Dấu = khi x=3.

Câu 7

Trung bình
Tìm GTLN của g(x)=xx2+4g(x) = \dfrac{x}{x^2+4} với x>0x > 0.

Đáp án

GTLN = 14\dfrac{1}{4} khi x=2x = 2

Lời giải chi tiết

g=1/(x+4/x)g = 1/(x+4/x). Cô-si (AM-GM): x+4/x≥4x+4/x \geq 4. Vậy g≤1/4g \leq 1/4.

Câu 8

Dễ
Cho a+b=8a+b=8, a,b>0a,b>0. Tìm GTLN của P=abP = ab.

Đáp án

GTLN = 16 khi a=b=4a=b=4

Lời giải chi tiết

Cô-si (AM-GM): ab≤(a+b)2/4=16ab \leq (a+b)^2/4 = 16. Dấu = khi a=b=4.

Câu 9

Trung bình
Tìm m nguyên nhỏ nhất để x2+4x+m>0x^2+4x+m>0 với mọi x.

Đáp án

m>4m > 4, vậy mmin=5m_{min} = 5

Lời giải chi tiết

Δ<0:16−4m<0⇒m>4\Delta < 0: 16-4m<0 \Rightarrow m>4. m nguyên nhỏ nhất = 5.

Câu 10

Khó
Tìm GTNN của S=a2/b+b2/aS = a^2/b + b^2/a với a,b>0a,b>0, a+b=6a+b=6.

Đáp án

GTNN = 6 khi a=b=3a=b=3

Lời giải chi tiết

S=(a3+b3)/(ab)=(a+b)((a+b)2−3ab)/(ab)S = (a^3+b^3)/(ab) = (a+b)((a+b)^2-3ab)/(ab) =6(36−3ab)/ab=216/ab−18= 6(36-3ab)/ab = 216/ab - 18 ab max = 9 (Cô-si (AM-GM)) → S min = 216/9-18 = 6

Câu 11

Dễ
Tìm GTNN của f(x)=x2+4x+7f(x) = x^2 + 4x + 7.

Đáp án

GTNN = 33 khi x=−2x = -2

Lời giải chi tiết

Ta có: f(x)=(x+2)2+3≥3f(x) = (x+2)^2 + 3 \geq 3 Dấu "=" xảy ra khi x=−2x = -2.

Câu 12

Trung bình
Tìm GTLN của g(x)=−2x2+12x−13g(x) = -2x^2 + 12x - 13.

Đáp án

GTLN = 55 khi x=3x = 3

Lời giải chi tiết

Ta có: g(x)=−2(x2−6x+9)+5=−2(x−3)2+5≤5g(x) = -2(x^2 - 6x + 9) + 5 = -2(x-3)^2 + 5 \leq 5 Dấu "=" xảy ra khi x=3x = 3.

Câu 13

Khó
Tìm mm để x2−2mx+m+2≥0x^2 - 2mx + m + 2 \geq 0 với mọi xx.

Đáp án

−1≤m≤2-1 \leq m \leq 2

Lời giải chi tiết

Điều kiện: Δ′≤0⇒m2−(m+2)≤0⇒m2−m−2≤0\Delta' \leq 0 \Rightarrow m^2 - (m+2) \leq 0 \Rightarrow m^2 - m - 2 \leq 0 Giải BPT: (m+1)(m−2)≤0⇒−1≤m≤2(m+1)(m-2) \leq 0 \Rightarrow -1 \leq m \leq 2
Chuyên đề trước

⚖️ Phương trình & Hệ phương trình

Chuyên đề tiếp

🔗 Dãy số & Tổng