🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
🔗
Chuyên đề 5/10

Dãy số & Tổng

Tính tổng dãy số, dãy truy hồi bằng kỹ thuật lặp Ans. Tìm quy luật dãy số. Tổng cấp số cộng/nhân.

Trung bình📝 5 bài tập + 10 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

Kỹ thuật lặp AnsMENU 3 (Table) lập bảngTổng cấp số cộng/nhânSTAT (Σ tổng)STO lưu trung gianCALC tính số hạng

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Kỹ thuật lặp Ans

Đây là kỹ thuật quan trọng nhất cho dãy truy hồi!

Cách dùng:

•Nhập giá trị đầu u1u_1, nhấn =
•Nhập công thức truy hồi chứa Ans (thay unu_n bằng Ans)
•Nhấn = liên tục → mỗi lần nhấn tính thêm 1 số hạng

**Ví dụ:** u1=1u_1 = 1, un+1=2un+3u_{n+1} = 2u_n + 3

•Nhập 1 = (u₁ = 1)
•Nhập 2×Ans + 3 = → u₂ = 5
•Nhấn = → u₃ = 13, u₄ = 29, ...

2. Cấp số cộng (CSC)

•Số hạng tổng quát: un=u1+(n−1)du_n = u_1 + (n-1)d
•Tổng n số hạng đầu: Sn=n(u1+un)2=n[2u1+(n−1)d]2S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}

3. Cấp số nhân (CSN)

•Số hạng tổng quát: un=u1⋅qn−1u_n = u_1 \cdot q^{n-1}
•Tổng n số hạng đầu: Sn=u1⋅qn−1q−1S_n = u_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1} (khi q≠1q \neq 1)

4. Tổng đặc biệt

•∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}
•∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
•∑k=1nk3=[n(n+1)2]2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2

5. Dùng TABLE tìm quy luật

MENU 3 → nhập f(X) là công thức dãy → xem bảng giá trị → tìm quy luật.

6. Tổng sai phân (triệt tiêu (telescoping))

1n(n+1)=1n−1n+1\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}

Khi cộng nhiều phân số dạng này, hầu hết các số hạng triệt tiêu nhau.

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Dễ
Cho dãy u1=2u_1 = 2, un+1=3un−1u_{n+1} = 3u_n - 1. Tìm u8u_8.

Đáp án

u8=3281u_8 = 3281

Lời giải chi tiết

Dùng kỹ thuật lặp Ans: • Nhập: 2 = (u₁) • Nhập: 3 × Ans - 1 = • Nhấn = liên tục 6 lần nữa u1=2,u2=5,u3=14,u4=41u_1=2, u_2=5, u_3=14, u_4=41 u5=122,u6=365,u7=1094,u8=3281u_5=122, u_6=365, u_7=1094, u_8=3281 Công thức tổng quát: un=3n+12u_n = \dfrac{3^n + 1}{2} Kiểm tra: u8=(38+1)/2=(6561+1)/2=3281u_8 = (3^8+1)/2 = (6561+1)/2 = 3281 ✓

Câu 2

Trung bình
Tính tổng: S=11×3+13×5+15×7+...+199×101S = \dfrac{1}{1 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 5} + \dfrac{1}{5 \times 7} + ... + \dfrac{1}{99 \times 101}

Đáp án

S=50101S = \dfrac{50}{101}

Lời giải chi tiết

Nhận dạng tổng sai phân (telescoping): 1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right) S=12(11−13+13−15+...+199−1101)S = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101}\right) S=12(1−1101)=12×100101=50101S = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{101}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{100}{101} = \dfrac{50}{101} Kiểm tra bằng bấm máy: 1⬚/⬚(1×3) + 1⬚/⬚(3×5) + ... (từng số hạng)

Câu 3

Trung bình
Tìm số hạng thứ 20 và tổng 20 số hạng đầu của CSC có u3=10u_3 = 10 và u7=26u_7 = 26.

Đáp án

u20=78u_{20} = 78, S20=800S_{20} = 800

Lời giải chi tiết

Từ u3=u1+2d=10u_3 = u_1 + 2d = 10 và u7=u1+6d=26u_7 = u_1 + 6d = 26 → 4d=164d = 16 → d=4d = 4 → u1=10−8=2u_1 = 10 - 8 = 2 u20=u1+19d=2+76=78u_{20} = u_1 + 19d = 2 + 76 = 78 S20=20(u1+u20)2=20×802=800S_{20} = \dfrac{20(u_1 + u_{20})}{2} = \dfrac{20 \times 80}{2} = 800 Hoặc dùng hệ phương trình: MENU 5 → 1 → 2 Nhập: 1 = 2 = 10 = 1 = 6 = 26 → u₁ = 2, d = 4 Bấm: 20 × (2 + 78) ÷ 2 = 800

Câu 4

Dễ
Tính: S=1+2+4+8+...+219S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{19}

Đáp án

S=220−1=1048575S = 2^{20} - 1 = 1048575

Lời giải chi tiết

Đây là tổng CSN với u1=1u_1 = 1, q=2q = 2, n=20n = 20 S=u1×qn−1q−1=1×220−12−1=220−1S = u_1 \times \dfrac{q^n - 1}{q - 1} = 1 \times \dfrac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2^{20} - 1 Bấm: 2 xⁿ 20 - 1 = 1048575 Hoặc dùng lặp Ans: 1 = → 1 Ans + Ans × 2... (không hiệu quả) Tốt hơn: Dùng công thức trực tiếp.

Câu 5

Khó
Cho dãy Fibonacci: F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+1+FnF_1 = 1, F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n. Tìm F20F_{20} và tính F20F19\dfrac{F_{20}}{F_{19}} (làm tròn 6 CSTP).

Đáp án

F20=6765F_{20} = 6765, F20F19≈1.618034\dfrac{F_{20}}{F_{19}} \approx 1.618034

Lời giải chi tiết

Kỹ thuật lặp Fibonacci trên máy tính: • Lưu F₁=1 vào biến A: 1 STO A • Lưu F₂=1 vào biến B: 1 STO B • Tính: A+B = (ghi kết quả). Gán lại A, B và lặp lại Cách đơn giản hơn (gần đúng): • Nhập 1 = (F₁) • Nhập 1 = (F₂) • Nhập: ... (cần 2 biến) Cách tốt nhất - dùng biến: Bấm: 1 STO A, rồi 1 STO B Lặp 18 lần: A+B = (kết quả), STO vào C. Rồi: B STO A, C STO B. Lặp lại F₁₋₂₀: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765 F20/F19=6765/4181≈1.618034F_{20}/F_{19} = 6765/4181 \approx 1.618034 (tỉ lệ vàng!)

🏋️ Bài tập luyện thêm

10 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Dễ
CSC có u1=5u_1=5, d=3d=3. Tìm u25u_{25} và S25S_{25}.

Đáp án

u25=77u_{25}=77, S25=1025S_{25}=1025

Lời giải chi tiết

u25=5+24×3=77u_{25}=5+24\times 3=77 S25=25(5+77)/2=1025S_{25}=25(5+77)/2=1025

Câu 7

Dễ
CSN có u1=3u_1=3, r=2r=2. Tìm u10u_{10} và S10S_{10}.

Đáp án

u10=1536u_{10}=1536, S10=3069S_{10}=3069

Lời giải chi tiết

u10=3×29=1536u_{10}=3\times 2^9=1536 S10=3(210−1)=3069S_{10}=3(2^{10}-1)=3069

Câu 8

Trung bình
Tính: S=12+22+...+202S = 1^2+2^2+...+20^2

Đáp án

S=2870S = 2870

Lời giải chi tiết

S=n(n+1)(2n+1)/6=20×21×41/6=2870S = n(n+1)(2n+1)/6 = 20\times 21\times 41/6 = 2870

Câu 9

Trung bình
Tính: S=11×3+13×5+...+119×21S = \dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+...+\dfrac{1}{19\times 21}

Đáp án

S=1021S = \dfrac{10}{21}

Lời giải chi tiết

triệt tiêu: 1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}) S=12(1−1/21)=10/21S = \dfrac{1}{2}(1-1/21) = 10/21

Câu 10

Khó
Cho u1=2u_1=2, un+1=3un−1u_{n+1}=3u_n-1. Tìm u8u_8.

Đáp án

u8=3281u_8 = 3281

Lời giải chi tiết

Dùng Ans looping: 2= rồi 3×Ans-1= lặp 7 lần. Công thức: un=(3n+1)/2u_n=(3^n+1)/2, u8=(6561+1)/2=3281u_8=(6561+1)/2=3281

Câu 11

Dễ
Cho cấp số cộng có u1=5u_1 = 5, d=3d = 3. Tìm u20u_{20} và S20S_{20}.

Đáp án

u20=62,S20=670u_{20} = 62, S_{20} = 670

Lời giải chi tiết

u20=u1+19d=5+19×3=62u_{20} = u_1 + 19d = 5 + 19 \times 3 = 62 S20=20(u1+u20)2=10(5+62)=670S_{20} = \dfrac{20(u_1 + u_{20})}{2} = 10(5 + 62) = 670

Câu 12

Trung bình
Cho cấp số nhân có u1=2u_1 = 2, q=3q = 3. Tìm S10S_{10}.

Đáp án

S10=59048S_{10} = 59048

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức: S10=u1q10−1q−1S_{10} = u_1 \dfrac{q^{10} - 1}{q - 1} S10=2×310−13−1=310−1=59049−1=59048S_{10} = 2 \times \dfrac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 3^{10} - 1 = 59049 - 1 = 59048

Câu 13

Khó
Tính: S=11×3+13×5+...+119×21S = \dfrac{1}{1 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 5} + ... + \dfrac{1}{19 \times 21}

Đáp án

S=1021S = \dfrac{10}{21}

Lời giải chi tiết

Dạng sai phân (triệt tiêu): 1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1} \right) S=12(1−121)=1021S = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{21} \right) = \dfrac{10}{21}

Câu 14

Khó
CSCS có u5=17u_5=17, u10=32u_{10}=32. Tìm u1u_1 và dd.

Đáp án

u1=5,d=3u_1 = 5, d = 3

Lời giải chi tiết

Hệ phương trình: {u1+4d=17u1+9d=32\begin{cases} u_1 + 4d = 17 \\ u_1 + 9d = 32 \end{cases}. Trừ 2 vế: 5d=15⇒d=35d = 15 \Rightarrow d = 3. Từ đó u1=17−4(3)=5u_1 = 17 - 4(3) = 5

Câu 15

Khó
Tính S=1+11+111+...+111...1S = 1 + 11 + 111 + ... + 111...1 (10 chữ số 1)

Đáp án

12345679001234567900

Lời giải chi tiết

Số hạng tổng quát un=10n−19u_n = \dfrac{10^n - 1}{9}. S=19(10(1010−1)9−10)S = \dfrac{1}{9} \left( \dfrac{10(10^{10}-1)}{9} - 10 \right) Bấm máy: 12345679001234567900
Chuyên đề trước

📈 Bất phương trình & Cực trị

Chuyên đề tiếp

📐 Hình học tính toán