🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
⚖️
Chuyên đề 3/10

Phương trình & Hệ phương trình

Giải phương trình bậc 2, bậc 3 bằng MODE 5. Giải hệ phương trình 2 và 3 ẩn. Dùng SOLVE và TABLE dò nghiệm.

Trung bình📝 5 bài tập + 5 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

MODE 5 (EQN)PT bậc 2 (MODE 5→2→2)PT bậc 3 (MODE 5→2→3)Hệ 2 ẩn (MODE 5→1→2)Hệ 3 ẩn (MODE 5→1→3)SOLVE (SHIFT+CALC)TABLE dò nghiệm

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Giải PT bậc 2: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Nhấn MODE 5 → 2 → 2 → nhập a, b, c → máy cho x1x_1, x2x_2.

Lưu ý:

•Nếu Δ<0\Delta < 0: máy báo "Non-Real" (không có nghiệm thực)
•Nếu Δ=0\Delta = 0: máy cho x1=x2x_1 = x_2 (nghiệm kép)
•Kết quả có thể dạng phân số → nhấn S⇔D để chuyển

2. Giải PT bậc 3: ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Nhấn MODE 5 → 2 → 3 → nhập a, b, c, d → máy cho x1x_1, x2x_2, x3x_3.

3. Hệ 2 phương trình 2 ẩn

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Nhấn MODE 5 → 1 → 2 → nhập a1,b1,c1,a2,b2,c2a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2

4. Hệ 3 phương trình 3 ẩn

{a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

Nhấn MODE 5 → 1 → 3 → nhập 12 hệ số

5. Dùng SOLVE dò nghiệm

Với PT phức tạp không đưa về dạng chuẩn:

•Nhập phương trình dạng f(X)=0f(X) = 0
•Nhấn SHIFT + CALC (SOLVE)
•Nhập giá trị đoán ban đầu gần nghiệm
•Máy tìm nghiệm bằng Newton

Mẹo: Dùng TABLE trước SOLVE

MODE 3 → nhập f(X)f(X) → chọn khoảng → tìm chỗ đổi dấu → dùng SOLVE với giá trị đoán chính xác hơn

6. Định lý Vieta

Cho PT ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm x1,x2x_1, x_2:

•x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}
•x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}

Dùng để kiểm tra kết quả hoặc tính các biểu thức đối xứng.

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Dễ
Giải phương trình 3x2−11x+6=03x^2 - 11x + 6 = 0. Tính x12+x22x_1^2 + x_2^2.

Đáp án

x1=3,  x2=23x_1 = 3,\; x_2 = \dfrac{2}{3}. Vậy x12+x22=859x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{85}{9}

Lời giải chi tiết

MODE 5 → 2 → 2 → nhập a=3, b=-11, c=6 Máy cho: x1=3x_1 = 3, x2=2/3x_2 = 2/3 x12+x22=9+4/9=85/9x_1^2 + x_2^2 = 9 + 4/9 = 85/9 Hoặc dùng Vieta: x1+x2=11/3x_1 + x_2 = 11/3, x1x2=2x_1 x_2 = 2 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=121/9−4=85/9x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 121/9 - 4 = 85/9

Câu 2

Trung bình
Giải hệ phương trình: {x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

Đáp án

x=1,  y=2,  z=3x = 1,\; y = 2,\; z = 3

Lời giải chi tiết

MODE 5 → 1 → 3 (hệ 3 ẩn) Nhập: 1, 1, 1, 6 2, -1, 1, 3 1, 2, -1, 2 Máy cho: x = 1, y = 2, z = 3 Kiểm tra: • 1 + 2 + 3 = 6 ✓ • 2(1) - 2 + 3 = 3 ✓ • 1 + 2(2) - 3 = 2 ✓

Câu 3

Dễ
Giải phương trình bậc 3: x3−6x2+11x−6=0x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0.

Đáp án

x1=1,  x2=2,  x3=3x_1 = 1,\; x_2 = 2,\; x_3 = 3

Lời giải chi tiết

MODE 5 → 2 → 3 → nhập a=1, b=-6, c=11, d=-6 Máy cho: x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2, x3=3x_3 = 3 Kiểm tra: (x−1)(x−2)(x−3)=x3−6x2+11x−6(x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 ✓ Nhận xét: Đây là tích 3 nhị thức liên tiếp.

Câu 4

Trung bình
Tìm nghiệm gần đúng (4 CSTP) của phương trình x3+2x−7=0x^3 + 2x - 7 = 0.

Đáp án

x≈1.5689x \approx 1.5689

Lời giải chi tiết

Cách 1 - Dùng TABLE: MODE 3 → f(X) = X³ + 2X - 7 Start=0, End=3, Step=0.5 • f(1) = 1+2-7 = -4 (âm) • f(1.5) = 3.375+3-7 = -0.625 (âm) • f(2) = 8+4-7 = 5 (dương) → Nghiệm nằm trong (1, 2), gần 1.5 Cách 2 - Dùng SOLVE: Nhập X³ + 2X - 7 = 0 SHIFT+CALC → giá trị đoán X=1.5 Máy cho: X ≈ 1.5689 Kiểm tra: 1.56893+2(1.5689)−7≈01.5689^3 + 2(1.5689) - 7 \approx 0 ✓

Câu 5

Khó
Cho PT x2−mx+m−1=0x^2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để PT có 2 nghiệm x1,x2x_1, x_2 thỏa x12+x22=5x_1^2 + x_2^2 = 5.

Đáp án

m=−1m = -1 hoặc m=3m = 3

Lời giải chi tiết

Theo Vieta: x1+x2=mx_1 + x_2 = m, x1x2=m−1x_1 x_2 = m - 1 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=m2−2(m−1)=5x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 - 2(m-1) = 5 m2−2m+2=5m^2 - 2m + 2 = 5 m2−2m−3=0m^2 - 2m - 3 = 0 Bấm: MODE 5 → 2 → 2 → a=1, b=-2, c=-3 → m1=3m_1 = 3, m2=−1m_2 = -1 Kiểm tra ĐK Δ≥0\Delta \geq 0: Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=(m−2)2≥0\Delta = m^2 - 4(m-1) = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2 \geq 0 ∀m ✓ Với m=3: PT x2−3x+2=0x^2-3x+2=0 → x=1,x=2x=1, x=2 → 1+4=51+4=5 ✓ Với m=-1: PT x2+x−2=0x^2+x-2=0 → x=1,x=−2x=1, x=-2 → 1+4=51+4=5 ✓

🏋️ Bài tập luyện thêm

5 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Dễ
Giải: 3x2+7x−6=03x^2 + 7x - 6 = 0

Đáp án

x1=23,x2=−3x_1 = \dfrac{2}{3}, x_2 = -3

Lời giải chi tiết

MODE 5 → 2 → 2: a=3, b=7, c=-6 Δ=49+72=121\Delta = 49+72=121 x=(−7±11)/6x = (-7\pm 11)/6 x1=4/6=2/3,x2=−18/6=−3x_1 = 4/6 = 2/3, x_2 = -18/6 = -3

Câu 7

Dễ
Giải hệ: {3x+2y=135x−3y=9\begin{cases} 3x+2y=13 \\\\ 5x-3y=9 \end{cases}

Đáp án

x=3,y=2x = 3, y = 2

Lời giải chi tiết

MODE 5 → 1 → 2: 3,2,13; 5,-3,9 Kiểm tra: 9+4=13✓, 15-6=9✓

Câu 8

Trung bình
Tìm nghiệm gần đúng của x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 trong [0,1][0,1].

Đáp án

x≈0.3473x \approx 0.3473

Lời giải chi tiết

TABLE: f(X) = X³ - 3X + 1 f(0)=1>0, f(0.4)=-0.136<0 SOLVE: x ≈ 0.3473 Kiểm tra: 0.3473³-3(0.3473)+1 ≈ 0

Câu 9

Trung bình
Giải hệ: {x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x+y+z=6 \\\\ 2x-y+z=3 \\\\ x+2y-z=2 \end{cases}

Đáp án

x=1,y=2,z=3x = 1, y = 2, z = 3

Lời giải chi tiết

MODE 5 → 1 → 3: 1,1,1,6; 2,-1,1,3; 1,2,-1,2 Kiểm tra: 1+2+3=6✓, 2-2+3=3✓, 1+4-3=2✓

Câu 10

Khó
Cho PT x2−(2m+1)x+m2+m=0x^2-(2m+1)x+m^2+m=0. CM PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Đáp án

Δ=1>0\Delta = 1 > 0 luôn đúng. Nghiệm: x=m+1x=m+1 hoặc x=mx=m

Lời giải chi tiết

Δ=(2m+1)2−4(m2+m)=4m2+4m+1−4m2−4m=1>0\Delta = (2m+1)^2-4(m^2+m) = 4m^2+4m+1-4m^2-4m = 1 > 0 luôn! Vậy PT luôn có 2 nghiệm: x=m+1x = m+1 và x=mx = m
Chuyên đề trước

🔍 Số nguyên tố & Chia hết

Chuyên đề tiếp

📈 Bất phương trình & Cực trị