🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
📝
Chuyên đề 7/10

Đa thức

Giá trị đa thức, định lý Bezout, phân tích nhân tử và định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3.

Nâng cao📝 5 bài tập + 10 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

Horner schemeĐịnh lý BezoutMENU 3 (Table)MENU 5→2→3 (PT bậc 3)Hệ phương trình (MENU 5→1→2)

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Giá trị đa thức bằng máy tính

•**Sơ đồ Horner (Horner scheme)**: Viết đa thức dưới dạng lồng nhau để tính nhanh. Ví dụ P(x)=2x3−5x2+3x−7=((2x−5)x+3)x−7P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 = ((2x - 5)x + 3)x - 7.
•**Dùng CALC**: Nhập biểu thức P(X)P(X), nhấn CALC rồi nhập giá trị của XX.
•**Dùng TABLE (MENU 3)**: Hữu ích khi cần tính giá trị đa thức tại nhiều điểm liên tiếp để tìm nghiệm nguyên.

2. Chia đa thức & Định lý Bezout

•**Định lý Bezout**: Số dư trong phép chia đa thức P(x)P(x) cho nhị thức (x−a)(x - a) chính là P(a)P(a).
•Nếu P(a)=0P(a) = 0 thì P(x)P(x) chia hết cho (x−a)(x - a), tức là (x−a)(x - a) là một nhân tử của P(x)P(x).

3. Phân tích nhân tử bằng máy tính

Để phân tích đa thức bậc 3 hoặc bậc 4:

•Dùng TABLE hoặc SOLVE (hoặc EQN MENU 5) tìm các nghiệm nguyên.
•Nếu có nghiệm x=ax = a, đa thức chia hết cho (x−a)(x - a).
•Dùng sơ đồ Horner hoặc phép chia đa thức để hạ bậc.

4. Định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3

Cho PT ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1,x2,x3x_1, x_2, x_3:

•x1+x2+x3=−bax_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}
•x1x2+x1x3+x2x3=cax_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}
•x1x2x3=−dax_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Dễ
Cho đa thức P(x)=2x3−5x2+3x−7P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7. Tính P(4)P(4).

Đáp án

P(4)=53P(4) = 53

Lời giải chi tiết

Bấm máy trực tiếp: Nhập: 2X³ - 5X² + 3X - 7 Nhấn CALC, nhập X = 4 Kết quả: P(4)=2(64)−5(16)+3(4)−7=128−80+12−7=53P(4) = 2(64) - 5(16) + 3(4) - 7 = 128 - 80 + 12 - 7 = 53 ✓

Câu 2

Dễ
Tìm phần dư khi chia đa thức P(x)=x4−3x3+2x2+x−5P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 5 cho (x−2)(x - 2).

Đáp án

Số dư = -3

Lời giải chi tiết

Theo định lý Bezout, số dư khi chia P(x)P(x) cho (x−2)(x - 2) chính là P(2)P(2). Bấm máy: Nhập X⁴ - 3X³ + 2X² + X - 5 Nhấn CALC, nhập X = 2 Kết quả: P(2)=16−24+8+2−5=−3P(2) = 16 - 24 + 8 + 2 - 5 = -3 ✓

Câu 3

Trung bình
Phân tích đa thức P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 thành nhân tử.

Đáp án

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Lời giải chi tiết

Dùng chức năng giải PT bậc 3 (MENU 5 → 2 → 3): Nhập a=1, b=-6, c=11, d=-6 Máy cho 3 nghiệm: x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2, x3=3x_3 = 3. Vì hệ số cao nhất a=1a = 1, nên ta có phân tích: P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) ✓

Câu 4

Trung bình
Cho phương trình x3+px+q=0x^3 + px + q = 0 có 3 nghiệm x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Biết x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0 và x1x2+x1x3+x2x3=−7x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-7. Tìm pp.

Đáp án

p=−7p = -7

Lời giải chi tiết

Phương trình dạng ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 với a=1,b=0,c=p,d=qa=1, b=0, c=p, d=q. Theo định lý Vi-ét: x1x2+x1x3+x2x3=ca=p1=px_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{p}{1} = p Đề bài cho x1x2+x1x3+x2x3=−7x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -7 Suy ra p=−7p = -7 ✓

Câu 5

Khó
Tìm a,ba, b để đa thức P(x)=x4−5x3+ax2+bx+6P(x) = x^4 - 5x^3 + ax^2 + bx + 6 chia hết cho (x−1)(x−2)(x-1)(x-2).

Đáp án

a=11a = 11, b=−13b = -13

Lời giải chi tiết

Để P(x)P(x) chia hết cho (x−1)(x−2)(x-1)(x-2) thì P(x)P(x) phải chia hết cho (x−1)(x-1) và (x−2)(x-2). Theo định lý Bezout, P(1)=0P(1) = 0 và P(2)=0P(2) = 0. Ta có hệ phương trình: {P(1)=1−5+a+b+6=a+b+2=0P(2)=16−40+4a+2b+6=4a+2b−18=0\begin{cases} P(1) = 1 - 5 + a + b + 6 = a + b + 2 = 0 \\ P(2) = 16 - 40 + 4a + 2b + 6 = 4a + 2b - 18 = 0 \end{cases} ⇔{a+b=−24a+2b=18\Leftrightarrow \begin{cases} a + b = -2 \\ 4a + 2b = 18 \end{cases} Bấm máy MENU 5 → 1 → 2: Nhập 1 = 1 = -2 và 4 = 2 = 18. Kết quả: a=11a = 11, b=−13b = -13 ✓

🏋️ Bài tập luyện thêm

10 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Dễ
Tính: P(3)P(3) với P(x)=3x3−2x2+x−4P(x)=3x^3-2x^2+x-4

Đáp án

P(3)=62P(3) = 62

Lời giải chi tiết

Bấm máy: 3(3)3−2(3)2+3−4=81−18+3−4=623(3)^3-2(3)^2+3-4 = 81-18+3-4 = 62

Câu 7

Dễ
Tìm dư chia x3−4x2+5x−2x^3-4x^2+5x-2 cho (x−1)(x-1)

Đáp án

Dư: 00 (chia hết)

Lời giải chi tiết

Định lý Bezout: Dư R=P(1)=13−4(1)2+5(1)−2=1−4+5−2=0R = P(1) = 1^3-4(1)^2+5(1)-2 = 1-4+5-2 = 0

Câu 8

Trung bình
Cho P(x)=x4−4x3+6x2−4x+1P(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1. Tính P(1)P(1), P(0)P(0), P(−1)P(-1)

Đáp án

P(1)=0P(1)=0, P(0)=1P(0)=1, P(−1)=16P(-1)=16

Lời giải chi tiết

Nhận xét P(x)=(x−1)4P(x)=(x-1)^4 hoặc CALC. P(1)=(1−1)4=0P(1)=(1-1)^4=0 P(0)=(0−1)4=1P(0)=(0-1)^4=1 P(−1)=(−1−1)4=16P(-1)=(-1-1)^4=16

Câu 9

Trung bình
Tìm aa để x3−3x2+ax+4x^3-3x^2+ax+4 chia hết cho (x+1)(x+1)

Đáp án

a=0a=0

Lời giải chi tiết

Định lý Bezout: P(−1)=0P(-1)=0 (−1)3−3(−1)2+a(−1)+4=0(-1)^3-3(-1)^2+a(-1)+4=0 −1−3−a+4=0⇒a=0-1-3-a+4=0 \Rightarrow a=0

Câu 10

Khó
PT x3−7x+6=0x^3-7x+6=0 có 3 nghiệm. Tìm tổng bình phương các nghiệm

Đáp án

x12+x22+x32=14x_1^2+x_2^2+x_3^2=14

Lời giải chi tiết

Vi-ét cho PT bậc 3: S1=x1+x2+x3=0S_1=x_1+x_2+x_3=0, S2=x1x2+x2x3+x3x1=−7S_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-7 x12+x22+x32=S12−2S2=02−2(−7)=14x_1^2+x_2^2+x_3^2 = S_1^2-2S_2 = 0^2-2(-7) = 14

Câu 11

Dễ
Tính P(5)P(5) với P(x)=x3−3x2+2x+1P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1

Đáp án

P(5)=61P(5) = 61

Lời giải chi tiết

Thay x=5x = 5: P(5)=53−3(5)2+2(5)+1=125−75+10+1=61P(5) = 5^3 - 3(5)^2 + 2(5) + 1 = 125 - 75 + 10 + 1 = 61

Câu 12

Trung bình
Tìm dư của phép chia x5−1x^5 - 1 cho x−1x - 1.

Đáp án

Dư: 00 (chia hết)

Lời giải chi tiết

Theo định lý Bezout, số dư R=P(1)R = P(1). P(1)=15−1=0P(1) = 1^5 - 1 = 0. Vây chia hết.

Câu 13

Khó
Tìm a,ba, b để x3+ax2+bx−6x^3 + ax^2 + bx - 6 chia hết cho (x−1)(x+2)(x-1)(x+2).

Đáp án

a=4,b=1a = 4, b = 1

Lời giải chi tiết

Gọi đa thức là P(x)P(x). Theo Bezout: P(1)=0P(1) = 0 và P(−2)=0P(-2) = 0 P(1)=1+a+b−6=0⇒a+b=5P(1) = 1 + a + b - 6 = 0 \Rightarrow a + b = 5 P(−2)=−8+4a−2b−6=0⇒4a−2b=14⇒2a−b=7P(-2) = -8 + 4a - 2b - 6 = 0 \Rightarrow 4a - 2b = 14 \Rightarrow 2a - b = 7 Giải hệ được: 3a=12⇒a=4,b=13a = 12 \Rightarrow a = 4, b = 1

Câu 14

Khó
Tìm dư khi chia P(x)=x2026+x2025+1P(x) = x^{2026} + x^{2025} + 1 cho x2+x+1x^2 + x + 1

Đáp án

Dư: x+2x + 2

Lời giải chi tiết

Xét x3−1=(x−1)(x2+x+1)⇒x3≡1(modx2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) \Rightarrow x^3 \equiv 1 \pmod{x^2+x+1}. x2026=x3×675+1≡xx^{2026} = x^{3 \times 675 + 1} \equiv x. x2025=(x3)675≡1x^{2025} = (x^3)^{675} \equiv 1. P(x)≡x+1+1=x+2P(x) \equiv x + 1 + 1 = x + 2

Câu 15

Khó
Cho P(x)P(x) chia cho (x−1)(x-1) dư 5, chia (x−2)(x-2) dư 7. Tìm dư khi chia cho (x−1)(x−2)(x-1)(x-2).

Đáp án

Dư: 2x+32x + 3

Lời giải chi tiết

Phần dư có dạng ax+bax+b. Theo Bezout: P(1)=a+b=5P(1) = a+b = 5 P(2)=2a+b=7P(2) = 2a+b = 7 Giải hệ: a=2,b=3a=2, b=3. Vậy phần dư là 2x+32x + 3
Chuyên đề trước

📐 Hình học tính toán

Chuyên đề tiếp

📊 Thống kê