🧮 HSG Máy Tính Cầm Tay
← Tất cả chuyên đề
📐
Chuyên đề 6/10

Hình học tính toán

Tính diện tích, chu vi, góc, đoạn thẳng bằng máy tính. Công thức Heron, định lý cosin, tọa độ.

Trung bình📝 5 bài tập + 10 luyện thêm

🔧 Kỹ thuật máy tính cần nắm

Công thức HeronĐịnh lý CosinPol( ) / Rec( )sin, cos, tanChế độ DEGπ (SHIFT ×10ˣ)

📖 Lý thuyết & Hướng dẫn

1. Kiểm tra chế độ DEG

**QUAN TRỌNG:** Trước khi giải bài hình học, PHẢI ở chế độ Degree!

Nhấn SHIFT MENU (SETUP) (Deg) để chọn.

2. Công thức Heron

Diện tích tam giác khi biết 3 cạnh a, b, c:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

trong đó p=a+b+c2p = \dfrac{a+b+c}{2}

Cách bấm:

Lưu p = (a+b+c)/2 vào biến A (STO A)

Rồi tính: √(A × (A-a) × (A-b) × (A-c))

3. Định lý Cosin

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

→ cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

→ C=cos⁡−1(a2+b2−c22ab)C = \cos^{-1}\left(\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)

Bấm: SHIFT cos ( (a²+b²-c²) ÷ (2ab) ) =

4. Chuyển đổi tọa độ

•**Pol(x, y)**: Chuyển tọa độ vuông góc → tọa độ cực (r,θ)(r, \theta)
•Nhấn SHIFT + (tức Pol), nhập x, y
•Máy cho r và θ
•**Rec(r, θ)**: Chuyển tọa độ cực → vuông góc (x,y)(x, y)
•Nhấn SHIFT - (tức Rec), nhập r, θ

5. Diện tích tam giác theo tọa độ

S=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣S = \dfrac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|

6. Khoảng cách 2 điểm

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

•sin⁡A=đo^ˊihuye^ˋn\sin A = \dfrac{đối}{huyền}, cos⁡A=ke^ˋhuye^ˋn\cos A = \dfrac{kề}{huyền}, tan⁡A=đo^ˊike^ˋ\tan A = \dfrac{đối}{kề}
•Định lý Pythagoras: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

✏️ Bài tập thực hành

Câu 1

Dễ
Tam giác ABC có a=13a = 13, b=14b = 14, c=15c = 15. Tính diện tích S và bán kính đường tròn ngoại tiếp R.

Đáp án

S=84S = 84, R=658=8.125R = \dfrac{65}{8} = 8.125

Lời giải chi tiết

Công thức Heron: p=(13+14+15)/2=21p = (13+14+15)/2 = 21 S=21×8×7×6=7056=84S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 Bấm: (13+14+15)÷2 = 21 STO A √(A×(A-13)×(A-14)×(A-15)) = 84 Bán kính ngoại tiếp: R=abc4S=13×14×154×84=2730336=658R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8} Bấm: 13×14×15 ÷ (4×84) = 8.125

Câu 2

Trung bình
Tam giác ABC có a=5a = 5, b=7b = 7, c=8c = 8. Tính góc A (làm tròn đến phút).

Đáp án

A≈38°13A \approx 38°13 phút

Lời giải chi tiết

Định lý Cosin: cos⁡A=b2+c2−a22bc=49+64−252×7×8=88112=1114\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{49 + 64 - 25}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14} Bấm: SHIFT cos(11÷14) = → khoảng 38.21° Đổi sang độ-phút-giây: Nhấn phím độ-phút-giây → 38°12 phút 47.56 giây ≈ 38°13 phút Lưu ý: Đảm bảo ở chế độ DEG!

Câu 3

Dễ
Cho hình chữ nhật có chu vi 40 cm. Tìm chiều dài và chiều rộng để diện tích lớn nhất.

Đáp án

Chiều dài = chiều rộng = 10 cm, Smax=100S_{max} = 100 cm²

Lời giải chi tiết

Gọi chiều dài = x → chiều rộng = (40-2x)/2 = 20-x S=x(20−x)=20x−x2S = x(20-x) = 20x - x^2 TABLE: f(X) = X(20-X) = 20X - X² Start=1, End=19, Step=1 → Max tại X = 10, f(10) = 100 Hoặc: S=−(x−10)2+100≤100S = -(x-10)^2 + 100 \leq 100 Dấu = khi x = 10 Vậy hình vuông cạnh 10 cho S max = 100 cm²

Câu 4

Trung bình
Cho A(1,2)A(1, 2), B(4,6)B(4, 6), C(7,2)C(7, 2). Tính diện tích tam giác ABC và chu vi (làm tròn 2 CSTP).

Đáp án

S=12S = 12, Chu vi ≈16.00\approx 16.00

Lời giải chi tiết

Diện tích: S=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣S = \dfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| =12∣1(6−2)+4(2−2)+7(2−6)∣= \dfrac{1}{2}|1(6-2) + 4(2-2) + 7(2-6)| =12∣4+0−28∣=242=12= \dfrac{1}{2}|4 + 0 - 28| = \dfrac{24}{2} = 12 Chu vi: AB=(4−1)2+(6−2)2=9+16=5AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5 BC=(7−4)2+(2−6)2=9+16=5BC = \sqrt{(7-4)^2+(2-6)^2} = \sqrt{9+16} = 5 AC=(7−1)2+(2−2)2=6AC = \sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2} = 6 Chu vi = 5 + 5 + 6 = 16.00

Câu 5

Khó
Tứ giác ABCD có A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(8,5)C(8,5), D(2,7)D(2,7). Tính diện tích tứ giác (công thức tọa độ (Shoelace)).

Đáp án

S=38S = 38

Lời giải chi tiết

Công thức tọa độ (Shoelace): S=12∣xAyB−xByA+xByC−xCyB+xCyD−xDyC+xDyA−xAyD∣S = \dfrac{1}{2}|x_Ay_B - x_By_A + x_By_C - x_Cy_B + x_Cy_D - x_Dy_C + x_Dy_A - x_Ay_D| =12∣(0×0−6×0)+(6×5−8×0)+(8×7−2×5)+(2×0−0×7)∣= \dfrac{1}{2}|(0×0 - 6×0) + (6×5 - 8×0) + (8×7 - 2×5) + (2×0 - 0×7)| =12∣(0−0)+(30−0)+(56−10)+(0−0)∣= \dfrac{1}{2}|(0-0) + (30-0) + (56-10) + (0-0)| =12×76=38= \dfrac{1}{2} \times 76 = 38 Kiểm tra: Chia thành 2 tam giác ABC và ACD rồi cộng.

🏋️ Bài tập luyện thêm

10 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng

Câu 6

Dễ
Tam giác có a=6a=6, b=8b=8, c=10c=10. Tính diện tích và góc lớn nhất.

Đáp án

S=24S = 24, góc C=90°C = 90° (tam giác vuông)

Lời giải chi tiết

62+82=100=1026^2+8^2=100=10^2 → vuông tại C. S=6×8/2=24S = 6\times 8/2 = 24

Câu 7

Trung bình
tọa độ: A(0,0), B(5,0), C(7,4), D(1,6). Tính diện tích.

Đáp án

S=29S = 29

Lời giải chi tiết

2S=∣(0−0)+(20−0)+(42−4)+(0−0)∣=582S = |(0-0)+(20-0)+(42-4)+(0-0)| = 58 S=29S = 29

Câu 8

Trung bình
Diện tích tam giác A(1,2), B(4,6), C(7,1).

Đáp án

S=13.5S = 13.5

Lời giải chi tiết

2S=∣1(6−1)+4(1−2)+7(2−6)∣=∣5−4−28∣=272S = |1(6-1)+4(1-2)+7(2-6)| = |5-4-28| = 27 S=27/2=13.5S = 27/2 = 13.5

Câu 9

Khó
Tam giác a=7a=7, b=9b=9, c=12c=12. Tính bán kính nội tiếp rr.

Đáp án

r=5≈2.236r = \sqrt{5} \approx 2.236

Lời giải chi tiết

p=14p = 14, S=14×7×5×2=980=145S = \sqrt{14\times 7\times 5\times 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt{5} r=S/p=145/14=5≈2.236r = S/p = 14\sqrt{5}/14 = \sqrt{5} \approx 2.236

Câu 10

Trung bình
Đường tròn x2+y2−4x+6y−12=0x^2+y^2-4x+6y-12=0. Tìm tâm và bán kính.

Đáp án

Tâm I(2,−3)I(2,-3), R=5R = 5

Lời giải chi tiết

(x−2)2+(y+3)2=4+9+12=25(x-2)^2+(y+3)^2 = 4+9+12 = 25 Tâm (2,−3)(2,-3), R=5R = 5

Câu 11

Dễ
Tam giác có ba cạnh a=5a=5, b=12b=12, c=13c=13. Tính diện tích SS.

Đáp án

S=30S = 30

Lời giải chi tiết

Nhận thấy 52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 Đây là tam giác vuông. S=12×5×12=30S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30

Câu 12

Trung bình
Tính góc AA của tam giác có a=6a=6, b=8b=8, c=10c=10.

Đáp án

A^≈36.87∘\widehat{A} \approx 36.87^\circ

Lời giải chi tiết

Đây là tam giác vuông tại CC (62+82=1026^2+8^2=10^2). sin⁡A=ac=610=0.6\sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{6}{10} = 0.6 Bấm arcsin⁡(0.6)≈36.87∘\arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ (hoặc dùng định lý cosin)

Câu 13

Khó
Tứ giác với các đỉnh A(1,1)A(1,1), B(5,1)B(5,1), C(6,4)C(6,4), D(2,5)D(2,5). Tính diện tích.

Đáp án

S=14.5S = 14.5

Lời giải chi tiết

Dùng công thức tọa độ: 2S=∣(1×1+5×4+6×5+2×1)−(1×5+1×6+4×2+5×1)∣2S = |(1 \times 1 + 5 \times 4 + 6 \times 5 + 2 \times 1) - (1 \times 5 + 1 \times 6 + 4 \times 2 + 5 \times 1)| 2S=∣(1+20+30+2)−(5+6+8+5)∣=∣53−24∣=292S = |(1 + 20 + 30 + 2) - (5 + 6 + 8 + 5)| = |53 - 24| = 29 S=14.5S = 14.5

Câu 14

Khó
Tam giác ABCABC có a=13,b=14,c=15a=13, b=14, c=15. Tính RR (bán kính ngoại tiếp).

Đáp án

R=8.125R = 8.125

Lời giải chi tiết

Tính nửa chu vi p=21p = 21. Diện tích S=21×8×7×6=84S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84. R=abc4S=13×14×154×84=2730336=8.125R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \dfrac{2730}{336} = 8.125

Câu 15

Khó
Tính khoảng cách từ A(3,4)A(3,4) đến đường thẳng 3x+4y−12=03x+4y-12=0

Đáp án

2.62.6

Lời giải chi tiết

Khoảng cách d=∣ax0+by0+c∣a2+b2=∣3(3)+4(4)−12∣32+42d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \dfrac{|3(3)+4(4)-12|}{\sqrt{3^2+4^2}} =∣9+16−12∣5=135=2.6= \dfrac{|9+16-12|}{5} = \dfrac{13}{5} = 2.6
Chuyên đề trước

🔗 Dãy số & Tổng

Chuyên đề tiếp

📝 Đa thức